Metaforer, hur bra är det?

I matematik tar man gärna till metaforer för att beskriva (förklara?) hur man räknar med negativa tal. Problemet är att det inte finns en bra metafor, utan att det lätt blir ett fladdrande mellan flera. Ibland tar jag till termometern och ibland resonerar jag kring skulder. Och vad gör jag med  -6 - 2 ? Att vi har samma symbol för räknesättet subtraktion och som beteckning för negativa tal gör det inte lättare. Jag har läst Cecilia Kilhmans avhandling ”Making Sense of Negative Numbers” och känner igen problematiken. Jag kommer att återvända till avhandlingen mer i detalj nästa termin, för då ska jag ha en Ma A-kurs igen, och många som kommer till oss har ingen bra taluppfattning.

Några plock från avhandlingen:

En metafor har olika riktning beroende på om man är förtrogen med matematiken eller ej. Läraren har matematiken som källdomän, vet hur man räknar med de negativa talen och har som mål att hitta en modell som eleven förstår. För eleven är måldomänen den fortfarande okända matematiken.   

      

Varje metafor framhäver vissa aspekter av ett begrepp och sätter andra aspekter i skymundan. Därför behövs det alltid flera metaforer för att belysa ett komplext begrepp. Det kan bli minst sagt rörigt för eleven om beräkningen  -6 - 2  beskrivs som två skulder och alltså beräknas som 6 + 2,  men man ska skriva  -8 som svar. En annan gång kanske samma uppgift beskrivs som att det är 6 grader kallt och temperaturen sjunker 
två grader. Och med vilken metafor beskriver man -6 – (-2) ?

När tallinjen används visar det sig att elever ofta ritar en linje som är symmetrisk runt 0 med en pil i varje ända, trots att man inte gör så i svenska läroböcker. Eleverna ser alltså 0 som en referenspunkt i vilken två tallinjer möts, snarare än att tallinjen är en enad. Detta har jag också sett hos elever ibland, men inte tänkt på att det kan få negativ betydelse för taluppfattningen.  I Notebook (programvaran till Smartboard) finns interaktiva övningar på funktioner där man ritat pilar åt båda håll.

Gemensamma klassrumsaktiviteter, där elever får höra och använda matematiskt språk,  är oerhört viktiga för att utmana elevers tankegångar och rätta till missförstånd. Avhandlingens huvudstudie innehåller observationer av 61 lektioner. Under 52 av dessa var strukturen enligt följande:  9 minuter genomgång i helklass, 37 minuter enskilt arbete i matteboken, 5 minuter övriga matematiska aktiviteter (tester, läxrättning, spel), 6 minuter ickematematiska aktiviteter.  Är undervisningens syfte bara att eleverna ska lösa räkneuppgifter med negativa tal? Syftet bör vara att ”engagera eleverna i kreativt matematisk arbete, där de kan upptäcka hur det utvidgade talområdet fungerar som en del av ett algebraiskt system, av människor konstruerat och i ständig förändring?” I klassrumsdiskussioner kan elevernas tolkningar och resonemang lyftas fram.

Negativa tal kan inte förstås till fullo om man kräver att allt ska bevisas konkret. När man använder metaforer behöver man ta upp med eleverna när och varför de kan (eller inte kan) användas. Metaforerna får inte vara ett undervisningsmål utan ett redskap att belysa matematiska samband. Negativa tal behöver beskrivas både 
som punkter på tallinjen, förflyttningar längs tallinjen och avstånd mellan två punkter på tallinjen.

Jag är inte så hemma i grundskolans kursplaner, men enligt avhandlingen ges negativa tal ett kort avsnitt i läroböckerna för årskurs 8. Varför introduceras inte begreppet negativa tal tidigare? Sedan kan operationerna med negativa tal komma i årskurs 8. Innan beräkningar med negativa tal tas upp måste eleverna ha bra förståelse för räknesättet subtraktion. 

Avhandlingen är värd att läsas i sin helhet av matematiklärare. Om du inte känner för att läsa hela avhandlingen, så läs författarens sammanfattning på svenska på sid 267-278.